In der folgenden Betrachtung soll gezeigt werden, dass die Unschärferelation für ein Elektron auf einer Kreisbahn im Wasserstoff-Atom in der Form ausgedrückt werden kann, wenn
den Drehimpuls und
den Winkel bezeichnen.
Bekannt ist die Unschärferelation
Für den Impuls gilt
Da konstant ist, folgt damit mit einer Impulsunschärfe
:
Bei der Bewegung auf einer Kreisbahn ist das Wegstück , bei konstantem Radius
und gegebenen Winkel
(in Bogenmaß) bestimmt über
, für eine Unbestimmtheit
folgt damit
. Einsetzen in die Unschärferelation liefert:
Ist die Unschärfe des Drehimpulses , so ist der Winkel
vollkommen unbestimmt, da mit
folgt:
Ist , so ist keine Unterscheidung mehr möglich, um welchen Periodenteil es sich handelt.
Die minimale Unschärfe beträgt und es folgt
. Der Drehimpuls des Elektrons auf “erlaubten” Bahnen beträgt
. Der Vergleich liefert: