Unschärferelation im Bohrschen Atommodell

In der folgenden Betrachtung soll gezeigt werden, dass die Unschärferelation für ein Elektron auf einer Kreisbahn im Wasserstoff-Atom in der Form $\Delta L \cdot \Delta \theta \geq \hslash$ ausgedrückt werden kann, wenn $L$ den Drehimpuls und $\theta$ den Winkel bezeichnen.

Bekannt ist die Unschärferelation

$\begin{displaymath}\Delta x \cdot \Delta p \geq \hslash \end{displaymath}$

Für den Impuls gilt

$\begin{displaymath} \Vec{L} = \Vec{r} \times \Vec{p} \Rightarrow L = rp \end{displaymath}$

Da $r$ konstant ist, folgt damit mit einer Impulsunschärfe $\Delta p$ :

$\begin{displaymath} $\Delta L = r \Delta p \Rightarrow \Delta p = \frac{\Delta L}{r} \end{displaymath}$

Bei der Bewegung auf einer Kreisbahn ist das Wegstück $x$ , bei konstantem Radius $r$ und gegebenen Winkel $\theta$ (in Bogenmaß) bestimmt über $x = r\theta$ , für eine Unbestimmtheit $\Delta x$ folgt damit $\Delta x = r\Delta\theta$ . Einsetzen in die Unschärferelation liefert:

$\Delta x \cdot \Delta p = r\Delta\theta \cdot \frac{\Delta L}{r} = \Delta L \cdot \Delta\theta \geq \hslash$

Ist die Unschärfe des Drehimpulses $\Delta L \leq \frac{\hslash}{2\pi}$ , so ist der Winkel $\theta$ vollkommen unbestimmt, da mit $\epsilon \geq 0$ folgt:

$\begin{displaymath} \Delta L \cdot \Delta\theta \geq \hslash \Rightarrow \left(\frac{\hslash}{2\pi} - \epsilon\right) \cdot \Delta\theta \geq\hslash \xrightarrow{\epsilon \to 0} \Delta\theta \geq 2\pi \end{displaymath}$

Ist $\Delta\theta \geq 2\pi$ , so ist keine Unterscheidung mehr möglich, um welchen Periodenteil es sich handelt.

Die minimale Unschärfe beträgt $\Delta\theta \cdot \Delta L = \hslash$ und es folgt $\Delta L = \frac{\hslash}{\Delta\theta} \leq \frac{\hslash}{2\pi}$ . Der Drehimpuls des Elektrons auf “erlaubten” Bahnen beträgt $L = n\hslash$ . Der Vergleich liefert: