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  • Beitrag zuletzt geändert am:03.05.2020
  • Beitrags-Kategorie:Physik

In dieser kurzen Betrachtung sollen die Transporteigenschaften Relaxationszeit, mittlere freie Weglänge und elektronische Anteil zur Wärmeleitfähigkeit von Kupfer bei verschiedenen Temperaturen berechnet werden.

Kupfer kristallisiert in einem fcc-Gitter und enthält somit 4 Kupferatome je Einheitszelle. Da Kupfer einwertig ist, also ein “freies” Elektron pro Atom, bedeutet dies auch, dass 4 “freie” Elektronen je Einheitszelle zur Verfügung stehen. Die Dichte n_{el} der freien Elektronen lässt sich somit aus der Gitterkonstanten a_{Cu}=361,49\phe{pm} von Kupfer bestimmen zu

    \[n_{el} = \frac{4}{a_{Cu}^3} \simeq \boldsymbol{8,468 \cdot 10^{28}\phe{m^{-3}}}\]

Für die Beziehung zwischen der elektrischen Leitfähigkeit \sigma, der Relaxationszeit \tau und der mittleren freien Weglänge \left<\ell\right> gelten die Beziehungen

    \[\sigma = \frac{e^2 \tau}{m_e}n_{el} \qquad\Rightarrow\qquad \tau=\frac{\sigma m_e}{e^2 n_{el}}\]

sowie

    \[\tau = \frac{\left<\ell\right>}{v_{F}} \qquad\Rightarrow\qquad \left<\ell\right> = \tau v_{F} = v_F \frac{\sigma m_e}{e^2 n_{el}}\]

mit der Fermigeschwindigkeit v_F, der Elektronenmasse m_e und der Elementarladung e. Für den elektronischen Anteil zur Wärmeleitfähigkeit \lambda_{el} gilt die Beziehung

    \[\lambda_{el} = \frac{\pi^2}{3}\frac{n_{el} k_B^2}{m_e}\frac{\left<\ell\right>}{v_{F}}T = \frac{\pi^2}{3}\frac{n_{el} k_B^2}{m_e}T\,\tau\]

Die Leitfähigkeit \sigma von reinem Kupfer beträgt bei Raumtemperatur (T=300\phe{K}) etwa 6 \cdot 10^{7}\phe{(\Omega\,m)^{-1}} und bei einer Temperatur von 4\phe{K} etwa 6 \cdot 10^{12}\phe{(\Omega\,m)^{-1}}. Die Fermigeschwindigkeit von Kupfer beträgt v_F = 1,6 \cdot 10^{6}\phe{m/s}. Damit erhält man für die Relaxationszeit \tau, der mittleren freien Weglänge \left<\ell\right> und den elektronischen Anteil zur Wärmeleitfähigkeit \lambda_{el}:

T [K]τ [s]\left<\ell\right> [m]λel [W/(m K)]
4\simeq 2,51 \cdot 10^{-9}\simeq 4,02 \cdot 10^{-3}\simeq 5,86 \cdot 10^{5}
300\simeq 2,51 \cdot 10^{-14}\simeq 4,02 \cdot 10^{-8}\simeq 440