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  • Beitrag zuletzt geändert am:03.05.2020
  • Beitrags-Kategorie:Physik

In dieser kurzen Betrachtung soll der Strukturfaktor für das fcc-Gitter berechnet werden. Die Basisvektoren für das fcc-Gitter sind gegeben über

    \[\vec{r}_1 = \left(0,0,0\right)\quad,\quad\vec{r}_2 = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)\quad,\quad\vec{r}_3 = \left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\quad\text{\textsf{und}}\quad\vec{r}_4 = \left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)\]

die über r_i = u_i\vec{a}_1 + v_i\vec{a}_2+w_i\vec{a}_3 mit den primitiven Gittervektoren zusammenhängen. Der Strukturfaktor S lässt sich über die Beziehung

    \[S = \sum_{i} f_i \exp\left\{i\Vec{G}\cdot\vec{r}_i\right\}\]

bestimmen, wobei f_i den Atomformfaktor und \Vec{G} den reziproken Gittervektor bezeichnet. Für den reziproken Gittervektor gilt

    \[\Vec{G} = h\Vec{A}_1 + k\Vec{A}_2 + l\Vec{A}_3\]

mit den Millerschen Indizes (hkl). Für die Beziehung zwischen den primitiven und reziproken Gittervektoren gilt \Vec{A}_i \cdot \vec{a}_i = 2\pi. Enthält das fcc-Gitter nur eine Atomsorte, so ist der Atomformfaktor identisch (\forall i: f_i \equiv f) und man erhält für den Strukturfaktor:

    \begin{align*}S & = f \left[\exp\left\{i\left(h\Vec{A}_1 \cdot 0 \Vec{a}_1 + k\Vec{A}_2 \cdot 0 \Vec{a}_2 + l\Vec{A}_3 \cdot 0 \Vec{a}_3\right)\right\}+\exp\left\{i\left(h\Vec{A}_1 \cdot \frac{\Vec{a}_1}{2} + k\Vec{A}_2 \cdot \frac{\Vec{a}_2}{2} + l\Vec{A}_3 \cdot 0 \Vec{a}_3\right)\right\}\right.\\& \quad\left.+\exp\left\{i\left(h\Vec{A}_1 \cdot 0 \Vec{a}_1 + k\Vec{A}_2 \cdot \frac{\Vec{a}_2}{2} + l\Vec{A}_3 \cdot \frac{\Vec{a}_3}{2}\right)\right\}+\exp\left\{i\left(h\Vec{A}_1 \cdot \frac{\Vec{a}_1}{2} + k\Vec{A}_2 \cdot 0 \Vec{a}_2 + l\Vec{A}_3 \cdot \frac{\Vec{a}_3}{2}\right)\right\}\right] \\& = f \left[1 + \exp\left\{\pi i(h + k)\right\} + \exp\left\{\pi i(k + l)\right\} + \exp\left\{\pi i(h + l)\right\}\right] \\& = \begin{cases}4f & \text{\sffamily; f"ur alle $h$, $k$, $l$ gerade oder alle ungerade} \\0  & \text{\sffamily; sonst}\end{cases}\end{align*}


Damit sind beim fcc-Gitter die Reflexe (111), (200), (220), (202), (222), (311), (331), (313), (333), … erlaubt und die anderen (hkl)-Kombination sind verboten (d.h. diese Reflexe liefern keine Intensität).