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  • Beitrag zuletzt geändert am:03.05.2020
  • Beitrags-Kategorie:Physik

In der folgenden Betrachtung soll das folgende Beispiel zur Fata Morgana berechnet werden. Der Brechungsindex in Luft möge senkrecht nach oben um 0,01 % pro Meter kontinuierlich abnehmen. In welcher Höhe wird ein Lichtstrahl total reflektiert (Winkel mit der Horizontalen = 0), wenn er ursprünglich einen Winkel von 45° mit der Horizontalen bildet? Die Erdkrümmung soll dabei nicht berücksichtigt werden.

Die Änderung des Brechungsindex n um \beta = 0,01\phe{\%/m}, wenn man sich um ein Strecke \Delta z nach oben bewegt, beträgt:

    \[n(\Delta z) = n_0 \left(1 - \beta \Delta z\right)\]

Daraus folgt mit dem Brechungsgesetz n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2:

    \[\frac{\sin(\alpha_1)}{\sin(\alpha_1 + \Delta \alpha)}= \frac{n(\Delta z)}{n_0}= \left(1 - \beta \Delta z\right)\Rightarrow\sin(\alpha_1 + \Delta\alpha') = \frac{\sin(\alpha_1)}{1 - \beta \Delta z}\]

Bewegt man sich nun um ein weiteres \Delta z nach oben, so erhält man

    \[\sin(\alpha_1 + \Delta\alpha' + \Delta\alpha'')= \frac{\sin(\alpha_1 + \Delta\alpha')}{1 - \beta \Delta z}= \frac{\sin(\alpha_1)}{\left(1 - \beta \Delta z\right)^2}\]

Bei rekursiver Anwendung bis \sin(\alpha_1 + \Delta\alpha' + \Delta\alpha'' + \dots) = \sin(\alpha_2) erhält man:

    \[\sin\alpha_2 = \frac{\sin\alpha_1}{\left(1 - \beta \Delta z\right)^{h/\Delta z}}\]

Mit \sin\alpha_2 = \sin(\pi/2) = 1 und \sin\alpha_1 = \sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2} folgt:

    \[\sqrt{2}\left(1 - \beta \Delta z\right)^{h/\Delta z} = 1\Rightarrowh = -\frac{1}{2}\frac{\ln(2)\Delta z}{\ln(1 - \beta \Delta z)}\]

Verkleinert man \Delta z, bildet also den Grenzprozeß \Delta z \to 0, so erhält man:

    \[h = \lim_{\Delta z \to 0} -\frac{1}{2}\frac{\ln(2)\Delta z}{\ln(1 - \beta \Delta z)}\approx \mathbf{3465,7\phe{m}}\]

Dabei kann man den Grenzwert z. B. über Interpolation erhalten:

    \begin{align*}\Delta z_1 & = -0,1\phe{m} & \Rightarrow h(\Delta z_1) & \approx 3465,75\phe{m} \\\Delta z_2 & =  0,1\phe{m} & \Rightarrow h(\Delta z_2) & \approx 3465,72\phe{m} \\&&\Rightarrowh(\Delta z=0) & = \frac{3465,75\phe{m} + 3465,72\phe{m}}{2} \approx 3465,7\phe{m}\end{align*}

(Bildquelle: WikiMedia Commons)