Winkel zwischen Ebenen in einem kubischen Kristall

Die primitive Gittervektoren eines kubischen Kristalls lassen sich mit den kartesischen Einheitsvektoren \Vec{e}_x, \Vec{e}_y und \Vec{e}_z ausdrücken als

    \[ \Vec{a}_1 = a\Vec{e}_x\qquad,\qquad\Vec{a}_2 = a\Vec{e}_y\qquad\text{\textsf{und}}\qquad\Vec{a}_3 = a\Vec{e}_z \]

wobei a die Gitterkonstante bezeichnet. Für die Gittervektoren im reziproken Raum gelten die Beziehungen

    \begin{displaymath} \Vec{A}_1 = 2\pi\frac{\Vec{a}_2 \times \Vec{a}_3}{\Vec{a}_1 \cdot \left( \Vec{a}_2 \times \Vec{a}_3 \right)}, \quad \Vec{A}_2 = 2\pi\frac{\Vec{a}_3 \times \Vec{a}_1}{\Vec{a}_2 \cdot \left( \Vec{a}_3 \times \Vec{a}_1 \right)}, \quad \Vec{A}_3 = 2\pi\frac{\Vec{a}_1 \times \Vec{a}_2}{\Vec{a}_3 \cdot \left( \Vec{a}_1 \times \Vec{a}_2 \right)} \end{displaymath}

sowie für den reziproken Gittervektor

    \[ \Vec{G}_{(hkl)} = h\Vec{A}_1 + k\Vec{A}_2 + l\Vec{A}_3 \]

mit den Millerschen Indizes (hkl). Um den Winkel zwischen zwei Kristallebenen zu bestimmen wird der Normalenvektor \hat{n} benötigt, der sich aus dem reziproken Gittervektor bestimmen lässt:

    \[ \hat{n} = \frac{\Vec{G}}{\left|\Vec{G}\right|} \]

Der Winkel zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren \hat{n} und \hat{n}' lässt sich dann aus der Beziehung

    \[ \cos\alpha = \hat{n} \cdot \hat{n}' \]

ermitteln.

Als Beispiel sollen nachfolgend die Winkel zwischen der (111)-Ebene und den Ebenen (210), (202) und (301) bestimmt werden.  Zunächst können die reziproken Gittervektoren sowie deren Beträge für die einzelnen Ebenen bestimmt werden zu:

    \begin{align*} \Vec{G}_{(111)} & = \frac{2\pi}{a}\left(\Vec{e}_x + \Vec{e}_y + \Vec{e}_z\right) & \left|\Vec{G}_{(111)}\right| & = \frac{2\pi}{a}\sqrt{3} \\ \Vec{G}_{(210)} & = \frac{2\pi}{a}\left(2\Vec{e}_x + \Vec{e}_y\right) & \left|\Vec{G}_{(210)}\right| & = \frac{2\pi}{a}\sqrt{5} \\ \Vec{G}_{(202)} & = \frac{4\pi}{a}\left(\Vec{e}_x + \Vec{e}_z\right) & \left|\Vec{G}_{(202)}\right| & = \frac{4\pi}{a}\sqrt{2} \\ \Vec{G}_{(301)} & = \frac{2\pi}{a}\left(3\Vec{e}_x + \Vec{e}_z\right) & \left|\Vec{G}_{(301)}\right| & = \frac{2\pi}{a}\sqrt{10} \end{align*}

Mit den Normalenvektoren und der Winkelbeziehung zwischen diesen erhält man

    \begin{alignat*}{3} \alpha_{111}^{210} & = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{5}}(\Vec{e}_x + \Vec{e}_y + \Vec{e}_z) \cdot (2\Vec{e}_x + \Vec{e}_y)\right) &&  = \arccos\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right) &&  \simeq \boldsymbol{39,2^o}\\ \alpha_{111}^{202} & = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2}}(\Vec{e}_x + \Vec{e}_y + \Vec{e}_z) \cdot (\Vec{e}_x + \Vec{e}_z)\right) &&  = \arccos\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) &&  \simeq \boldsymbol{35,3^o}\\ \alpha_{111}^{301} & = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{10}}(\Vec{e}_x + \Vec{e}_y + \Vec{e}_z) \cdot (3\Vec{e}_x + \Vec{e}_z)\right) &&  = \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{3}\sqrt{10}}\right) &&  \simeq \boldsymbol{43,1^o} \end{alignat*}