Strukturfaktor für das fcc-Gitter

In dieser kurzen Betrachtung soll der Strukturfaktor für das fcc-Gitter berechnet werden. Die Basisvektoren für das fcc-Gitter sind gegeben über

    \[ \vec{r}_1 = \left(0,0,0\right)\quad,\quad \vec{r}_2 = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)\quad,\quad \vec{r}_3 = \left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\quad\text{\textsf{und}}\quad \vec{r}_4 = \left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right) \]

die über r_i = u_i\vec{a}_1 + v_i\vec{a}_2+w_i\vec{a}_3 mit den primitiven Gittervektoren zusammenhängen. Der Strukturfaktor S lässt sich über die Beziehung

    \[ S = \sum_{i} f_i \exp\left\{i\Vec{G}\cdot\vec{r}_i\right\} \]

bestimmen, wobei f_i den Atomformfaktor und \Vec{G} den reziproken Gittervektor bezeichnet. Für den reziproken Gittervektor gilt

    \[ \Vec{G} = h\Vec{A}_1 + k\Vec{A}_2 + l\Vec{A}_3 \]

mit den Millerschen Indizes (hkl). Für die Beziehung zwischen den primitiven und reziproken Gittervektoren gilt \Vec{A}_i \cdot \vec{a}_i = 2\pi. Enthält das fcc-Gitter nur eine Atomsorte, so ist der Atomformfaktor identisch (\forall i: f_i \equiv f) und man erhält für den Strukturfaktor:

    \begin{align*} S & = f \left[\exp\left\{i\left(h\Vec{A}_1 \cdot 0 \Vec{a}_1 + k\Vec{A}_2 \cdot 0 \Vec{a}_2 + l\Vec{A}_3 \cdot 0 \Vec{a}_3\right)\right\} +\exp\left\{i\left(h\Vec{A}_1 \cdot \frac{\Vec{a}_1}{2} + k\Vec{A}_2 \cdot \frac{\Vec{a}_2}{2} + l\Vec{A}_3 \cdot 0 \Vec{a}_3\right)\right\}\right.\\ & \quad\left. +\exp\left\{i\left(h\Vec{A}_1 \cdot 0 \Vec{a}_1 + k\Vec{A}_2 \cdot \frac{\Vec{a}_2}{2} + l\Vec{A}_3 \cdot \frac{\Vec{a}_3}{2}\right)\right\} +\exp\left\{i\left(h\Vec{A}_1 \cdot \frac{\Vec{a}_1}{2} + k\Vec{A}_2 \cdot 0 \Vec{a}_2 + l\Vec{A}_3 \cdot \frac{\Vec{a}_3}{2}\right)\right\}\right] \\ & = f \left[1 + \exp\left\{\pi i(h + k)\right\} + \exp\left\{\pi i(k + l)\right\} + \exp\left\{\pi i(h + l)\right\}\right] \\ & = \begin{cases} 4f & \text{\sffamily; f"ur alle $h$, $k$, $l$ gerade oder alle ungerade} \\ 0  & \text{\sffamily; sonst} \end{cases} \end{align*}

Damit sind beim fcc-Gitter die Reflexe (111), (200), (220), (202), (222), (311), (331), (313), (333), … erlaubt und die anderen (hkl)-Kombination sind verboten (d.h. diese Reflexe liefern keine Intensität).