Reziproker Gittervektor für die primitive Einheitszelle des fcc-Gitters

Die primitiven Gittervektoren für dein kubisch flächenzentriertes Gitter (fcc-Gitter) sind

    \[ \Vec{a}_1 = \frac{a}{2}\left(\Vec{e}_y + \Vec{e}_z\right)\qquad,\qquad \Vec{a}_2 = \frac{a}{2}\left(\Vec{e}_x + \Vec{e}_z\right)\qquad\text{\textsf{und}}\qquad \Vec{a}_3 = \frac{a}{2}\left(\Vec{e}_x + \Vec{e}_y\right) \]

wobei mit \Vec{e}_x, \Vec{e}_y und \Vec{e}_z die kartesischen Einheitsvektoren bezeichnet sind. Das Volumen V_E der primitiven Einheitszelle beträgt

    \[ V_E = \Vec{a}_1 \cdot \left(\Vec{a}_2 \times \Vec{a}_3\right) = \frac{a^3}{8} \cdot 2 = \frac{a^3}{4} \]

Für die Gittervektoren im reziproken Raum erhält man somit

    \begin{alignat*}{2} \Vec{A}_1 & = \frac{2\pi}{V_E}\left(\Vec{a}_3 \times \Vec{a}_1\right) && = \frac{2\pi}{a}\left(-\Vec{e}_x + \Vec{e}_y + \Vec{e}_z\right) \\ \Vec{A}_2 & = \frac{2\pi}{V_E}\left(\Vec{a}_1 \times \Vec{a}_2\right) && = \frac{2\pi}{a}\left(\Vec{e}_x - \Vec{e}_y + \Vec{e}_z\right)\\ \Vec{A}_3 & = \frac{2\pi}{V_E}\left(\Vec{a}_2 \times \Vec{a}_3\right) && = \frac{2\pi}{a}\left(\Vec{e}_x + \Vec{e}_y - \Vec{e}_z\right) \end{alignat*}

oder in der Matrixschreibweise

    \[ \Vec{A} = \frac{2\pi}{a}\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix} \]

Vergleicht man diese Matrix mit der eines kubisch raumzentrierten Gitters (bcc-Gitter), so erkennt man, dass das reziproke Gitter der fcc-Struktur dem bcc-Gitter entspricht.