Phononenzustandsdichte eines 2D-Gitters mit einatomiger Basis

In dieser kurzen Betrachtung soll die Frequenzabhängigkeit der Phononenzustandsdichte D(ω) für kleine Frequenzen ω im Falle eines isotropen zweidimensionalen Gitters mit einatomiger Basis ermittelt und mit dem eindimensionalen sowie dreidimensionalen Fall verglichen werden.

Die Phononenzustandsdichte D(ω) im n-dimensionalen Fall kann allgemein geschrieben werden als

    \begin{displaymath} D(\omega) = \frac{NV_{EZ}}{(2\pi)^n}\sum_{n}\int_{F}\left|\nabla_q \omega(q)\right|^{-1} \mathsf{d}F(\omega) \end{displaymath}

mit der Zahl der Einheitszellen N, dem Volumen der Einheitszelle VEZ, der Summation über alle Zweige s der Dispersionsrelation und dem Integral über alle Oberflächen F, in denen Dispersionskurven durch ω gehen.

Bei einer einatomigen Basis existieren nur akustische Zweige, optische Zweige kommen hier nicht vor. Für ein 2D-Gitter sind hier zwei Moden möglich, eine longitudinale Mode (mit Geschwindigkeit vL) und eine transversale Mode (mit Geschwindigkeit vT). Da ein isotropes Gitter betrachtet werden soll, gilt weiterhin ωL = vL q und ωT = vT q. Damit ist für jeden der beiden Dispersionszweige die Fläche ω(q) = const. ein Kreis mit Radius q.

Für beide Moden erhält man somit

    \begin{displaymath} \left|\nabla_q \omega_i(q)\right| = v_i \end{displaymath}

und damit

    \begin{displaymath} D_i(\omega) & = \frac{NV_{EZ}}{(2\pi)^2}\int_F\left|\nabla_q \omega_i(q)\right|^{-1}\mathsf{d}F(\omega) = \frac{NV_{EZ}}{(2\pi)^2}\int_{0}^{2\pi}q\mathsf{d}\phi = \frac{NV_{EZ}}{(2\pi)^2}\frac{2\pi q}{v_i} = \frac{NV_{EZ}}{2\pi}\frac{\omega_i}{v_i^2} \end{displaymath}

Zusammengefasst für beide Moden erhält man für die Frequenzabhängigkeit der Phononenzustandsdichte die Beziehung:

    \begin{displaymath} \boxed{D(\omega) = \frac{NV_{EZ}}{2\pi}\left(\frac{1}{v_L^2} + \frac{1}{v_T^2}\right)\omega} \end{displaymath}

Vergleicht man dies mit der Zustandsdichte im eindimensionalen Fall

    \begin{displaymath} D^{1D}(\omega) = \frac{NV_{EZ}}{2\pi}\frac{1}{v_L} \end{displaymath}

und im dreidimensionalen Fall

    \begin{displaymath} D^{3D}(\omega) = \frac{NV_{EZ}}{2\pi^2}\left(\frac{1}{v_L^3} + \frac{2}{v_{T}^3}\right)\omega^2 \end{displaymath}

erhält man allgemein für den n-dimensionalen Fall die Abhängigkeit der Phonenzustandsdichte von der Frequenz als:

    \begin{displaymath} \boxed{D^{nD}(\omega) \propto \omega^{n-1}} \end{displaymath}