In dieser kurzen Betrachtung soll die Frequenzabhängigkeit der Phononenzustandsdichte D(ω) für kleine Frequenzen ω im Falle eines isotropen zweidimensionalen Gitters mit einatomiger Basis ermittelt und mit dem eindimensionalen sowie dreidimensionalen Fall verglichen werden.
Die Phononenzustandsdichte D(ω) im n-dimensionalen Fall kann allgemein geschrieben werden als
mit der Zahl der Einheitszellen N, dem Volumen der Einheitszelle VEZ, der Summation über alle Zweige s der Dispersionsrelation und dem Integral über alle Oberflächen F, in denen Dispersionskurven durch ω gehen.
Bei einer einatomigen Basis existieren nur akustische Zweige, optische Zweige kommen hier nicht vor. Für ein 2D-Gitter sind hier zwei Moden möglich, eine longitudinale Mode (mit Geschwindigkeit vL) und eine transversale Mode (mit Geschwindigkeit vT). Da ein isotropes Gitter betrachtet werden soll, gilt weiterhin ωL = vL q und ωT = vT q. Damit ist für jeden der beiden Dispersionszweige die Fläche ω(q) = const. ein Kreis mit Radius q.
Für beide Moden erhält man somit
und damit
Zusammengefasst für beide Moden erhält man für die Frequenzabhängigkeit der Phononenzustandsdichte die Beziehung:
Vergleicht man dies mit der Zustandsdichte im eindimensionalen Fall
und im dreidimensionalen Fall
erhält man allgemein für den n-dimensionalen Fall die Abhängigkeit der Phonenzustandsdichte von der Frequenz als: