Lokales elektrisches Feld verschiedener Körpergeometrien

Wird ein dielektrischer Festkörper in ein homogenes elektrisches Feld \vec{E}_{ext} gebracht, so wird dieser homogen polarisiert. Im Innern des Festkörpers stellt sich ein lokales elektrisches Feld der Stärke \vec{E}_{lokal} = \vec{E}_{ext} + \vec{E}_{f} + \vec{E}_L ein. Dabei bezeichnet

    \[ \Vec{E}_f = -f \frac{\vec{P}}{\epsilon_0} \]

das Entelektrisierungsfeld, mit dem Entelektrisierungsfaktor f der Probe ( im allgemeinen Fall ein Tensor 2. Stufe) und der in der Probe vorliegenden homogenen Polarisation \vec{P}.  Mit \vec{E}_L wird das Lorentz-Feld bezeichnet, für das gilt:

    \[ \vec{E}_L = \frac{1}{3} \frac{\vec{P}}{\epsilon_0} \]

Hauptkomponenten des Entelektrisierungstensors für verschiedene Körpergeometrien

Zwischen den Hauptkomponenten des Entelektrisierungstensors besteht die Beziehung:

    \[ f_{xx} + f_{yy} + f_{zz} = 1 \]

Sei zunächst ein Stab betrachtet, der derart orientiert ist, dass seine Längsachse in z-Richtung zeigt und in diese Richtung unendlich lang ist. Dann tritt an seiner Längsrichtung keine Entelektrisierung auf, d. h. f_{zz} = 0. Zylindersymmetrie in der xy-Ebene vorausgesetzt müssen die beiden verbleibenden Komponenten f_{xx} und f_{yy} gleich sein. Um die Bedingung f_{xx} + f_{yy} + f_{zz} = 1 zu erfüllen, muss also f_{xx} = f_{yy} = \frac{1}{2} gelten.

Bei einer (homogenen) Kugel müssen aus Symmetriegründen die drei Hauptkomponenten des Eltelektrisierungstensors gleich sein. Aus der Bedingung für die Hauptkomponenten folgt somit f_{xx} = f_{yy} = f_{zz} = \frac{1}{3}.

Für eine Scheibe sei das Koordinatensystem derart angenommen, dass die xy-Ebene mit der Orientierung der Scheibe übereinstimmt. Zusätzlich sei angenommen, dass die Scheibe in der xy-Ebene unendlich ausgedehnt sein. Dann tritt innerhalb der Ebene keine Entelektrisierung auf und es gilt f_{xx} = f_{yy} = 0. Damit muß aus der Bedingung für die Hauptkomponenten f_{zz} = 1 gelten.

Lokales elektrisches Feld für verschiedene Körpergeometrien

Für die Bestimmung des lokalen elektrischen Feldes sei ein linearer Zusammenhang zwischen der Polarisation \vec{P} und dem lokalen Feld \vec{E}_{lok} angenommen, d. h. \vec{P} = \epsilon_0 \chi \Vec{E}_{lok} mit \chi = \epsilon - 1.

Damit erhält man:

    \begin{align*} \vec{E}_{lok} = \vec{E}_{ext} + \vec{E}_f + \vec{E}_{L} & = \vec{E}_{ext} - f\frac{\vec{P}}{\epsilon_0} + \frac{1}{3}\frac{\vec{P}}{\epsilon_0} \\ & = \vec{E}_{ext} - f \chi \vec{E}_{lok} + \frac{1}{3} \chi \vec{E}_{lok} \end{align*}

Umstellen und auflösen nach \vec{E}_{lok} liefert:

    \[ \vec{E}_{lok} = \frac{\vec{E}_{ext}}{1+f\chi-\frac{1}{3}\chi} = \frac{\vec{E}_{ext}}{1+\left(f-\frac{1}{3}\right)\chi} \]

Für die Geometrien Kugel, Stab und Scheibe erhält man bei Berücksichtigung der Hauptkomponenten des Entelektrisierungstensors f (s.o.) für das in dem Körper herrschende lokale elektrische Feld:

    \begin{align*} \vec{E}_{lok}^{Kugel} & = \vec{E}_{ext} \\ \vec{E}_{lok}^{Stab} & = \left(\frac{E_{ext,x}}{1+\frac{1}{6}\chi}\;,\;\frac{E_{ext,y}}{1+\frac{1}{6}\chi}\;,\;\frac{E_{ext,z}}{1-\frac{1}{3}\chi}\right) \\ \vec{E}_{lok}^{Scheibe} & = \left( 0\;,\;0\;,\;\frac{E_{ext,z}}{1+\frac{2}{3}\chi}\right) \end{align*}