Geschwindigkeit der Longitudinalwelle in einem kubischen Kristall

In der folgenden Betrachtung soll die Gleichung für die Geschwindigkeit der Longitudinalwelle (Schallwelle) in einem kubischen Kristall in der [111]-Richtung aus der Wellengleichung hergeleitet werden.

Für den kubischen Kristall werden die elastischen Konstanten für Kompression, Scherung und Querspannung normalerweise in einem Tensor, dem Elastizitätsmodul, zusammengefasst. Dieser Tensor hat die Form:

    \[ c_{ijkl}^{\text{kubisch}} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{11} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{12} & c_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} \end{pmatrix} \]

Die Wellengleichung für den kubischen Kristall lautet:

    \[ \rho \frac{\mathsf{d}^2 u}{\mathsf{d} t^2} = c_{11} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + c_{44}\left(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)+\left(c_{12}+c_{44}\right)\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z}\right) \]

mit der Dichte \rho und der Auslenkung u.

Zur Lösung der DGL wird für die Geschwindigkeit u der Ansatz

(1)   \begin{equation*} u = u_0 \exp\left(\frac{i\Vec{k}\cdot\Vec{r}}{\sqrt{3}}\right)\cdot\exp\left(-i\omega t\right) \end{equation*}

mit dem Ortsvektor \Vec{r}=\left(x,y,z\right) und dem Wellenvektor \Vec{k}=\left(k_x,k_y,k_z\right) verwendet.  Für die einzelnen Teile der DGL (1) erhält man:

    \begin{alignat*}{2} \frac{\mathsf{d}^2 u}{\mathsf{d}t^2} & = u_0 \exp\left\{\frac{i\Vec{k}\cdot\Vec{r}}{\sqrt{3}}\right\}\left(-i\omega\right)^2\exp\left\{-i\omega t\right\} && = -\omega^2 u \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} & = u_0 \left(\frac{ik_x}{\sqrt{3}}\right)^2\exp\left\{\frac{i\Vec{k}\cdot\Vec{r}}{\sqrt{3}}\right\}\exp\left\{-i\omega t\right\} && = -\frac{1}{3}k_x^2 u \\ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} & = \cdots && = -\frac{1}{3}k_y^2 u \\ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} & = \cdots && = -\frac{1}{3}k_z^2 u \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} & = \cdots && = -\frac{1}{3}k_x k_y u \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} & = \cdots && = -\frac{1}{3}k_x k_z u \end{alignat*}

Setzt man dies in die DGL (1) ein, so erhält man

(2)   \begin{equation*} -\rho\omega^2 = -\frac{1}{3}\left[c_{11} k_x^2 + c_{44} k_y^2 + c_{44} k_z^2 + c_{12} k_x k_y + c_{44} k_x k_y + c_{12} k_x k_z + c_{44} k_x k_z\right] \end{equation*}

Für die Geschwindigkeit in [111]-Richtung gilt k = k_x = k_y = k_z. Einsetzen in (2) liefert:

(3)   \begin{equation*} \rho\omega^2 = \frac{k^2}{3}\left[c_{11} + 2c_{12} + 4 c_{44}\right] \end{equation*}

und somit für die Geschwindigkeit v_s der Longitudinalwelle:

(4)   \begin{equation*} v_s = \sqrt{\frac{\omega^2}{k^2}} = \sqrt{\frac{c_11 + 2c_{12} + 4c_{44}}{3\rho}} \end{equation*}