Eigenfunktion des Impulsoperators

In der folgenden Betrachtung soll überprüft werden, ob die Wellenfunktion der freien Elektronen und die Blochfunktion für gebundene Elektronen Eigenfunktionen des Impulsoperators \hat{\Vec{p}} = -i\hslash\Nabla_{\Vec{r}} sind.

Die Wellenfunktion des freien Elektrons ist gegeben über:

    \[ \psi_{\Vec{k}}(\Vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{V}} \exp\left\{i \Vec{k} \cdot \Vec{r}\right\} \]

Anwendung des Impulsoperators \hat{\Vec{p}} = -i\hslash\Nabla_{\Vec{r}} auf die Wellenfunktion liefert:

    \begin{align*} \hat{\Vec{p}}\psi_{\Vec{k}}(\Vec{r}) = \frac{\hslash}{i}\Nabla_{\Vec{r}}\psi_{\Vec{k}}(\Vec{r}) & = \frac{\hslash}{i}\frac{1}{\sqrt{V}} \left(\PDif{}{r_1}e^{ik_1 r_1}\Vec{e}_1 +\PDif{}{r_2}e^{ik_2 r_2}\Vec{e}_2 +\PDif{}{r_3}e^{ik_3 r_3}\Vec{e}_3\right) \\ & = \frac{\hslash}{i} \left(ik_1 e^{ik_1 r_1} \Vec{e}_1 + ik_2 e^{ik_2 r_2}\Vec{e}_2 + ik_3 e^{ik_3 r_3}\right) \\ & = \frac{\hslash \Vec{k}}{\sqrt{V}}e^{i\Vec{k} \cdot \Vec{r}} = \hslash\Vec{k}\psi_{\Vec{k}}(\Vec{r}) \end{align*}

wobei \Vec{e}_i, i \in \{1,2,3\} die Einheitsvektoren im 3D-Ortsraum bezeichnen und \Nabla_{\Vec{r}} den Nablaoperator bezüglich des Ortsraums. Das heißt, \psi_{\Vec{k}}(\Vec{r}) ist Eigenfunktion vom Impulsoperator mit Eigenwert \hslash\Vec{k}.

Die Blochfunktion eines gebundenen Elektrons ist gegeben über

    \[ \psi_{\Vec{k}}(\Vec{r}) = u_{\Vec{k}}(\Vec{r})e^{i\Vec{k} \cdot \Vec{r}} \]

Anwendung des Impulsoperators auf die Blochfunktion liefert:

    \begin{align*} \hat{\Vec{p}}\psi_{\Vec{k}}(\Vec{r}) & = \frac{\hslash}{i}\Nabla_{\Vec{r}} u_{\Vec{k}}(\Vec{r}) e^{i\Vec{k}\cdot\Vec{r}} \\ & = \hslash\Vec{k}u_{\Vec{k}}(\Vec{r})e^{i\Vec{k}\cdot\Vec{r}} + \frac{\hslash}{i} e^{i\Vec{k}\cdot\Vec{r}}\Nabla_{\Vec{r}} u_{\Vec{k}}(\Vec{r}) \\ & = \hslash\Vec{k} \psi_{\Vec{k}}(\Vec{r}) + \frac{\hslash}{i} e^{i\Vec{k}\cdot\Vec{r}}\Nabla_{\Vec{r}} u_{\Vec{k}}(\Vec{r}) \neq \text{const.} \cdot \psi_{\Vec{k}}(\Vec{r}) \end{align*}

Das heißt, die Blochfunktion ist keine Eigenfunktion vom Impulsoperator.