Bewegungsgleichung und Dispersionsrelation der transversalen Schwingung eines ebenen quadratischen Gitters

Nachfolgend soll die Bewegungsgleichung sowie die Dispersionsrelation für die transversale Schwingung eines ebenen quadratisches Gitters aus identischen Atomen hergeleitet werden.

Betrachtet sei ein ebenes quadratisches Gitter aus identischen Atomen mit der Masse M, wobei u_{r,s} die Auslenkung des Atoms in der Spalte s und der Reihe r senkrecht zur Gitterebene bezeichnet. Die Kraftkonstante zwischen zwei Atomen, die sich in unmittelbarer Nachbarschaft befinden, sei mit c bezeichnet und Wechselwirkungen zu entfernten Nachbarn werden vernachlässigt.

Bewegungsgleichung

Anschaulich ist klar, dass bei einer Auslenkung senkrecht zur s-r-Ebene sowohl die nächsten Nachbarn (r \pm 1 bzw. s \pm 1) innerhalb einer Reihe als auch diejenigen innerhalb einer Spalte zu einer rückstellenden Kraft führen. Damit erhält man für die Kraft entlang einer Reihe die Beziehung:

    \[ F_r = c \left(u_{r,s+1} - u_{r,s}\right) + c\left(u_{r,s-1}-u_{r,s}\right) = -c\left(2u_{r,s} - u_{r,s+1} - u_{r,s-1}\right) \]

und für die Kraft entlang einer Spalte

    \[ F_s = c\left(u_{r-1,s} - u_{r,s}\right) +c\left(u_{r+1,s}-u_{r,s}\right) = -c\left(2u_{r,s}-u_{r+1,s}-u_{r-1,s}\right) \]

Für die Gesamtkraft gilt F = F_{r} + F_{s} und die Bewegungsgleichung

    \[ M\frac{\mathsf{d}^2 u_{r,s}}{\mathsf{d}t^2} =   F \]

Insgesamt erhält man somit für die transversalen Schwingung eines ebenen quadratischen Gitters die Bewegungsgleichung

    \[ \boxed{\boldsymbol{M\frac{\mathsf{d}^2 u_{r,s}}{\mathsf{d}t^2} = -c\left[\left(2u_{r,s}-u_{r,s+1}-u_{r,s-1}\right)+\left(2u_{r,s}-u_{r+1,s}-u_{r-1,s}\right)\right]}} \]

Dispersionsrelation

Setzt man für die Bewegungsgleichung eine Lösung der Form

    \[ u_{s,r} = u_0 \exp\left\{i\left(sq_x a + r q_y a - \omega t\right)\right\} \]

an, wobei a den Abstand zwischen den nächsten Nachbarn bezeichnet, erhält man

    \begin{align*} \frac{\mathsf{d}^2 u_{r,s}}{\mathsf{d}t^2} & = -\omega^2 u_0 \exp\left\{-i\left(s q_x a + r q_y a - \omega t\right)\right\} = -\omega^2 u_{r,s} \\ 2u_{r,s} - u_{r,s+1} -u_{r,s-1} & = u_{r,s}\left(2-\exp\left\{i q_x a\right\} - \exp\left\{-i q_x a\right\} \\ 2u_{r,s} - u_{r+1,s}-u_{r-1,s} & = u_{r,s}\left(2-\exp\left\{i q_y a\right\} - \exp\left\{-i q_y a\right\} \end{align*}

Mit \exp\left\{ix\right\} + \exp\left\{-ix\right\} = 2\cos(x) und 1-\cos(x) = 2\sin^2(x/2) erhält man:

    \[ \omega^2 = \frac{c}{M}\left[2-2\cos\left(q_x a\right) + 2 - 2\cos(q_y a\right)\right] = \frac{4c}{M}\left[\sin^2\left(\frac{q_x a}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{q_y a}{2}\right)\right] \]

und somit für die Dispersionsrelation

    \[ \boxed{\boldsymbol{\omega = \sqrt{\frac{4c}{M}}\sqrt{\sin^2\left(\frac{q_x a}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{q_y a}{2}\right)}}} \]

Im Grenzfall qa \ll 1 kann die Kleinwinkelnäherung für den Sinus verwendet werden (sin(x) \simeq x für x \ll 1). Mit q=q_x=q_y erhält man die Dispersionsrelation

    \[ \omega \simeq \sqrt{\frac{4c}{M}}\sqrt{\left(\frac{qa}{2}\right)^2 + \left(\frac{qa}{2}\right)^2} = q\sqrt{\frac{2ca^2}{M}} \]

In diesem Grenzfall ist die Phasengeschwindigkeit (v_p = \omega/q) konstant.