Unschärferelation im Bohrschen Atommodell

In der folgenden Betrachtung soll gezeigt werden, dass die Unschärferelation für ein Elektron auf einer Kreisbahn im Wasserstoff-Atom in der Form \Delta L \cdot \Delta \theta \geq \hslash ausgedrückt werden kann, wenn L den Drehimpuls und \theta den Winkel bezeichnen.

Bekannt ist die Unschärferelation

    \begin{displaymath}\Delta x \cdot \Delta p \geq \hslash \end{displaymath}

Für den Impuls gilt

    \begin{displaymath} \Vec{L} = \Vec{r} \times \Vec{p} \Rightarrow L = rp \end{displaymath}

Da r konstant ist, folgt damit mit einer Impulsunschärfe \Delta p:

    \begin{displaymath} $\Delta L = r \Delta p \Rightarrow \Delta p = \frac{\Delta L}{r} \end{displaymath}

Bei der Bewegung auf einer Kreisbahn ist das Wegstück x, bei konstantem Radius r und gegebenen Winkel \theta (in Bogenmaß) bestimmt über x = r\theta, für eine Unbestimmtheit \Delta x folgt damit \Delta x = r\Delta\theta. Einsetzen in die Unschärferelation liefert:

    \[ \Delta x \cdot \Delta p = r\Delta\theta \cdot \frac{\Delta L}{r} = \Delta L \cdot \Delta\theta \geq \hslash \]

Ist die Unschärfe des Drehimpulses \Delta L \leq \frac{\hslash}{2\pi}, so ist der Winkel \theta vollkommen unbestimmt, da mit \epsilon \geq 0 folgt:

    \begin{displaymath} \Delta L \cdot \Delta\theta \geq \hslash \Rightarrow \left(\frac{\hslash}{2\pi} - \epsilon\right) \cdot \Delta\theta \geq\hslash \xrightarrow{\epsilon \to 0} \Delta\theta \geq 2\pi \end{displaymath}

Ist \Delta\theta \geq 2\pi, so ist keine Unterscheidung mehr möglich, um welchen Periodenteil es sich handelt.

Die minimale Unschärfe beträgt \Delta\theta \cdot \Delta L = \hslash und es folgt \Delta L = \frac{\hslash}{\Delta\theta} \leq \frac{\hslash}{2\pi}. Der Drehimpuls des Elektrons auf “erlaubten” Bahnen beträgt L = n\hslash. Der Vergleich liefert:

    \[ \frac{\Delta L}{L} = \frac{\hslash}{2\pi} \frac{1}{n\hslash} = \frac{1}{2 \pi n} \]