In der folgenden Betrachtung soll gezeigt werden, dass die Unschärferelation für ein Elektron auf einer Kreisbahn im Wasserstoff-Atom in der Form ausgedrückt werden kann, wenn den Drehimpuls und den Winkel bezeichnen.
Bekannt ist die Unschärferelation
Für den Impuls gilt
Da konstant ist, folgt damit mit einer Impulsunschärfe :
Bei der Bewegung auf einer Kreisbahn ist das Wegstück , bei konstantem Radius und gegebenen Winkel (in Bogenmaß) bestimmt über , für eine Unbestimmtheit folgt damit . Einsetzen in die Unschärferelation liefert:
Ist die Unschärfe des Drehimpulses , so ist der Winkel vollkommen unbestimmt, da mit folgt:
Ist , so ist keine Unterscheidung mehr möglich, um welchen Periodenteil es sich handelt.
Die minimale Unschärfe beträgt und es folgt . Der Drehimpuls des Elektrons auf „erlaubten“ Bahnen beträgt . Der Vergleich liefert: