Zeitliche Ausdehnung und Unschärferelation eines Wellenpaketes

Für die Erzeugung eines räumlich lokalisierten Wellenpaketes können unendlich viele Wellen der Form exp{-i(ωt – kx)} in einem Wellenzahl-Intervall zwischen k₀ – Δk/2 und k₀+Δk/2 überlagert werden. Um ein zeitlich konzentriertes Wellenpaket zu erhalten, kann diese Überlagerung auch für Wellen in einem Frequenz-Intervall zwischen ω₀ – Δω/2 und ω₀ + Δω/2 durchgeführt werden und das Wellenpaket in der Form

$\psi(x,t) = C(\omega_0)\int_{\omega_0 - \Delta\omega/2}^{\omega_0 + \Delta\omega/2} \exp\left\{-i(\omega t - kx)\right\}\dif{\omega}$

dargestellt werden.

In der folgenden Betrachtung soll das Integral unter Verwendung einer Taylor-Entwicklung für k(ω) in der Umgebung von ω₀ gelöst werden. Weiterhin wird gezeigt, dass die zeitliche Ausdehung des Wellenpaketes gegeben ist durch Δt = 4π/Δω und dass daraus die Unschärefelation ΔE·Δt=2h folgt.

Taylorentwicklung für $k(\omega)$ um $\omega_0$ liefert:

$k(\omega) = k_0 + \left(\Dif{k}{\omega}\right)_{\omega_0}(\omega - \omega_0) + \dots$

Substituiert man nun $f = \omega - \omega_0 \Rightarrow \dif{\omega} = \dif{f}$ und führt die Abkürzung $u = t - x\left(\Dif{k}{\omega}\right)_{\omega_0}$ ein, so folgt für die oben angegebene Wellenfunktion:

$\begin{align*} \psi(x,t) & = C(\omega_0) \exp\left[i(\omega t - xk_0)\right] \int_{-\Delta\omega/2}^{\Delta\omega/2} \exp(iuf)\dif{f} \\ & = C(\omega_0) \exp\left[i(\omega t - xk_0)\right] \left.\frac{1}{iu}\exp(iuf)\right|_{f=-\Delta\omega/2}^{\Delta\omega/2} \\ & = C(\omega_0) \exp\left[i(\omega t - xk_0)\right] \frac{1}{iu}\left[\exp\left(iu\frac{\Delta\omega}{2}\right)-\exp\left(-iu\frac{\Delta\omega}{2}\right)\right] \end{align*}$

Mit der Beziehung (für $z \in \mathbb{C}$ )

$\sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$

erhält man

$\begin{align*} \psi(x,t) & = \underbrace{C(\omega_0) \frac{2\sin\left(u\frac{\Delta\omega}{2}\right)}{u}}_{\text{Amplitude}} \cdot \underbrace{\exp\left[i(\omega_0 t - xk_0)\right]}_{\text{Oszillator}} \end{align*}$

Die Amplitude wird für $t_m - \left(\Dif{k}{\omega}\right)_{\omega_0} \cdot x_m = 0$ maximal und damit $x_m = t_m \left(\Dif{k}{\omega}\right)_{\omega_0}^{-1}$ . Die Nullstellen von $\sin\left(\left[t_{1,2} - \left(\Dif{k}{\omega}\right)_{\omega_0} x_m\right] \frac{\Delta\omega}{2}\right]$ liegen bei $\left(t_{1,2} - \left(\Dif{k}{\omega}\right)_{\omega_0} x_m\right) \frac{\Delta\omega}{2} = \pi$ .

Einsetzen von $x_m$ und Verwendung von $\frac{\Delta t}{2} = t_{1,2} - t_m$ liefert für die zeitliche Ausdehnung des Wellenpaketes:

$\left(t_{1,2} - t_m\right) \frac{\Delta\omega}{2} = \pi \Rightarrow \frac{\Delta t}{2} = \frac{2\pi}{\Delta\omega} \Rightarrow \Delta t = \frac{4\pi}{\Delta\omega}$

Für die Energie gilt $\Delta E = hf = \hslash \Delta\omega$ und es folgt die Unschärferelation:

$\Delta E \cdot \Delta t = \hslash \Delta\omega \cdot \frac{4\pi}{\Delta\omega} = 4\pi\hslash = 2h$