Für die Erzeugung eines räumlich lokalisierten Wellenpaketes können unendlich viele Wellen der Form exp{-i(ωt – kx)} in einem Wellenzahl-Intervall zwischen k0 – Δk/2 und k0+Δk/2 überlagert werden. Um ein zeitlich konzentriertes Wellenpaket zu erhalten, kann diese Überlagerung auch für Wellen in einem Frequenz-Intervall zwischen ω0 – Δω/2 und ω0 + Δω/2 durchgeführt werden und das Wellenpaket in der Form
dargestellt werden.
In der folgenden Betrachtung soll das Integral unter Verwendung einer Taylor-Entwicklung für k(ω) in der Umgebung von ω0 gelöst werden. Weiterhin wird gezeigt, dass die zeitliche Ausdehung des Wellenpaketes gegeben ist durch Δt = 4π/Δω und dass daraus die Unschärefelation ΔE·Δt=2h folgt.
Taylorentwicklung für um
liefert:
Substituiert man nun und führt die Abkürzung
ein, so folgt für die oben angegebene Wellenfunktion:
Mit der Beziehung (für )
erhält man
Die Amplitude wird für maximal und damit
. Die Nullstellen von
liegen bei
.
Einsetzen von und Verwendung von
liefert für die zeitliche Ausdehnung des Wellenpaketes:
Für die Energie gilt und es folgt die Unschärferelation: