Transporteigenschaften von reinem Kupfer

In dieser kurzen Betrachtung sollen die Transporteigenschaften Relaxationszeit, mittlere freie Weglänge und elektronische Anteil zur Wärmeleitfähigkeit von Kupfer bei verschiedenen Temperaturen berechnet werden.

Kupfer kristallisiert in einem fcc-Gitter und enthält somit 4 Kupferatome je Einheitszelle. Da Kupfer einwertig ist, also ein “freies” Elektron pro Atom, bedeutet dies auch, dass 4 “freie” Elektronen je Einheitszelle zur Verfügung stehen. Die Dichte n_{el} der freien Elektronen lässt sich somit aus der Gitterkonstanten a_{Cu}=361,49\phe{pm} von Kupfer bestimmen zu

    \[ n_{el} = \frac{4}{a_{Cu}^3} \simeq \boldsymbol{8,468 \cdot 10^{28}\phe{m^{-3}}} \]

Für die Beziehung zwischen der elektrischen Leitfähigkeit \sigma, der Relaxationszeit \tau und der mittleren freien Weglänge \left<\ell\right> gelten die Beziehungen

    \[ \sigma = \frac{e^2 \tau}{m_e}n_{el} \qquad\Rightarrow\qquad \tau=\frac{\sigma m_e}{e^2 n_{el}} \]

sowie

    \[ \tau = \frac{\left<\ell\right>}{v_{F}} \qquad\Rightarrow\qquad \left<\ell\right> = \tau v_{F} = v_F \frac{\sigma m_e}{e^2 n_{el}} \]

mit der Fermigeschwindigkeit v_F, der Elektronenmasse m_e und der Elementarladung e. Für den elektronischen Anteil zur Wärmeleitfähigkeit \lambda_{el} gilt die Beziehung

    \[ \lambda_{el} = \frac{\pi^2}{3}\frac{n_{el} k_B^2}{m_e}\frac{\left<\ell\right>}{v_{F}}T = \frac{\pi^2}{3}\frac{n_{el} k_B^2}{m_e}T\,\tau \]

Die Leitfähigkeit \sigma von reinem Kupfer beträgt bei Raumtemperatur (T=300\phe{K}) etwa 6 \cdot 10^{7}\phe{(\Omega\,m)^{-1}} und bei einer Temperatur von 4\phe{K} etwa 6 \cdot 10^{12}\phe{(\Omega\,m)^{-1}}. Die Fermigeschwindigkeit von Kupfer beträgt v_F = 1,6 \cdot 10^{6}\phe{m/s}. Damit erhält man für die Relaxationszeit \tau, der mittleren freien Weglänge \left<\ell\right> und den elektronischen Anteil zur Wärmeleitfähigkeit \lambda_{el}:

T [K] τ [s] <l> [m] λel [W/(m K)]
4 \simeq 2,51 \cdot 10^{-9} \simeq 4,02 \cdot 10^{-3} \simeq 5,86 \cdot 10^{5}
300 \simeq 2,51 \cdot 10^{-14} \simeq 4,02 \cdot 10^{-8} \simeq 440