Linienspektrum des Helium-Ions

Im Spektrum von ionisiertem Helium (Z = 2e) findet man eine Serie von Spektrallinien, bei der jede zweite Linie nahezu exakt mit einer Balmer-Linie  des atomaren Wasserstoffs zusammenfällt, während die anderen dazwischen liegen.

Diese Serie kommt zustande, indem das angeregte Elektron von einer Schale m \geq 5 auf die 4. Schale zurückfällt. Mit der Gleichung

    \[ \nu = R Z^2 \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

können die entsprechenden Frequenzen bzw. über \lambda = \frac{c_0}{\nu} die Wellenlängen bestimmt werden.

Dass diese nicht exakt zusammenfallen liegt darin begründet, weil die Rydberg-Frequenz R bzw. Rydberg-Konstante R_\infty nicht berücksichtigt, dass bei endlicher Masse des Atomkerns eine gemeinsame Bewegung von Kern und Elektron um den gemeinsamen Schwerpunkt vollzogen wird. Die Korrektur hierfür läßt sich über die Beziehung

    \[ R' = R_\infty \frac{\mu}{m_e} \]

ausdrücken, wobei \mu die reduzierte Masse \mu = \frac{m_K m_e}{m_K + m_e} bezeichnet. Für Wasserstoff und Helium erhält man:

    \begin{align*} R_H & = R_\infty \frac{\mu}{m_e} && = R_\infty \frac{m_P}{m_e + m_P} && = R_\infty \cdot 0,99946 && = 109678\phe{cm^{-1}} \\ R_{He^+} &  = R_\infty \frac{\mu}{m_e} && = R_\infty \frac{4 m_p}{m_e + 4 m_P} && = R_\infty \cdot 0,99986 && = 109722\phe{cm^{-1}} \end{align*}

wobei m_P \simeq m_N, m_e = 9,109 \cdot 10^{-31}\phe{kg}, m_P = 1,673 \cdot 10^{-27}\phe{kg} und R_\infty = 109737\phe{cm^{-1}} verwendet wurde.

Für die Wellenlängendifferenz zwischen der H_\alpha-Linie (n = 3 \rightarrow n' = 2) des atomaren Wasserstoffs und der am nächsten liegenden \mathrm{He}^+-Linie erhält man somit

    \begin{align*} \tilde{\nu}_{H_\alpha} & = 109678\phe{cm^{-1}} \cdot \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = 15232,9\phe{cm^{-1}} & \Rightarrow && \nu_{H_\alpha} & = 656,47\phe{nm}\\ \tilde{\nu}_{He^+} & = 109722\phe{cm^{-1}} \cdot \left(\frac{1}{4^2} - \frac{1}{6^2}\right) = 15239,2\phe{cm^{-1}} & \Rightarrow && \nu_{He^+} & = 656,20\phe{nm}\\ \Rightarrow \Delta\nu & = \nu_{He^+} - \nu_{H} = \boldsymbol{0,27\phe{nm}} \end{align*}