Im Modell unabhängiger Teilchen erfolgt die Beschreibung jedes Elektrons durch eine Bahn-Wellenfunktion . Die zugehörige räumliche Ladungsdichteverteilung ist durch gegeben. In dieser kurzen Betrachtung soll am Beispiel der L-Schale (n = 2) gezeigt werden, dass bei voller Besetzung der Elektronenschale, d. h. eine Besetzung mit 2n2 Elektronen, die gesamte zeitlich gemittelte Ladungsdichteverteilung kugelsymmetrisch ist.
Die Bahn-Wellenfunktionen für die L-Schale sind in der nachfolgenden Tabelle wiedergegeben:
n | l | m | |
2 | 0 | 0 | |
2 | 1 | 0 | |
2 | 1 | ±1 |
Zu zeigen ist, das die gesamte zeitlich gemittelte Ladungsdichteverteilung kugelsymmetrisch ist, d. h. darf dann keine winkelabhängigen Anteile enthalten und nur noch vom radialen Abstand abhängen (). Da über alle zugelassenen Werte von und summiert werden muß, ist die räumliche Ladungsdichteverteilung gegeben über:
Zunächst werden die einzelnen Betragsquadrate bestimmt:
und sind identisch und es folgt für die Ladungsdichteverteilung:
Die so erhaltene Ladungsdichteverteilung enthält nur noch den radialen Anteil, die winkelabhängigen Anteile sind herausgefallen.