Herleitung der Stefan-Boltzmann-Konstante aus Planck’schem Strahlungsgesetz

In dieser kurzen Betrachtung soll die Stefan-Boltzmann-Konstante σ aus dem Planck’schem Strahlungsgesetz hergeleitet werden und gezeigt werden, dass sich diese aus den Naturkonstanten Lichtgeschwindigkeit c, Boltzmann-Konstante kB und Planck’sches Wirkungsquantum h berechnen lässt.

Die spektrale Energiedichte w der Hohlraum-Strahlung in einem Frequenzintervall \dif{\nu} ist nach Planck gegeben durch

(1)   \begin{equation*} w(\nu,T)\dif{\nu} = \frac{8\pi h}{c^3}\frac{\nu^3}{\exp\left\{\frac{h\nu}{k_{B}T}\right\}-1} \dif{\nu} \end{equation*}

Befindet sich die emittierende Oberfläche innerhalb des Hohlraumes, so ist sie im Gleichgewicht mit dem Strahlungsfeld und es gilt für die in den freien Hohlraum abgestrahlte Leistung eines massiven Körpers:

(2)   \begin{equation*} P(T) = \frac{c}{4}W(T) = \sigma T^4 \end{equation*}

mit

(3)   \begin{equation*} W(t) = \int w(\nu,T)\dif{\nu} \end{equation*}

Einsetzen der Beziehungen (1) und (3) in (2) und umstellen nach der Stefan-Boltzmann-Konstanten \sigma liefert

    \begin{align*} P(T) & = \frac{c}{4} W(T) = \frac{c}{4}\int_{0}^{\infty}\frac{8 \pi h}{c^3}\frac{\nu^3}{\exp\left\{\frac{h\nu}{k_{B}T}\right\}-1}\dif{\nu} = \sigma T^4 \\ \Rightarrow \qquad\qquad\sigma & = \frac{c}{4T^4}\frac{8\pi h}{c^3}\int_{0}^{\infty}\frac{\nu^3}{\exp\left\{\frac{h\nu}{k_{B}T}\right\} -1}\dif{\nu} \end{align*}

Durch Substitution von x = \frac{h\nu}{k_{B}T} \Rightarrow \dif{\nu}=\frac{k_{B}T}{h}\dif{x} kann das Integral in eine Form überführt werden, deren Lösung tabelliert ist (z.B. im Bronstein):

    \begin{align*} \sigma & = \frac{2\pi h}{T^4 c^3}\int_{0}^{\infty} \left(\frac{h}{k_{B}T}\right)^3 \frac{x^3}{\exp(x) - 1} \frac{kT}{h}\dif{x} \\ \sigma & = \frac{2\pi h k_{B}^4 T^4}{T^4 c^3 h^4}\underbrace{\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{\exp(x)-1}\dif{x}}_{=\pi^{4}/15} \end{align*}

Für die Stefan-Boltzmann-Konstante erhält man somit den Ausdruck

    \[ \boxed{\boldsymbol{\sigma = \frac{2}{15}\frac{\pi^5 k_{B}^4}{c^2 h^3}}} \]

der nur noch von den Naturkonstanten Lichtgeschwindigkeit c, Boltzmann-Konstante kB und Planck’sches Wirkungsquantum h sowie Vorfaktoren abhängt.