Donatoren in Indiumantimonid (InSb)

In der folgenden Betrachtung soll für Indiumantimonid (InSb) die Ionisierungsenergie der Donatoren, der Bahnradius für den Grundzustand sowie die Donatorkonzentration, bei der deutliche Überlappungseffekte zwischen den Orbitalen benachbarter Dotieratome auftreten, bestimmt werden.

In Indiumantimonid beträgt die Bandlücke E_g = 0.23\phe{eV}, die Dielektrizitätszahl \epsilon=18 und die effektive Elektronenmasse m_e^* = 0.015\,m_e. Die Bestimmung der Ionisierungsenergie der Donatoren wird unter der Annahme durchgeführt, dass sich die Donatoratome wasserstoffartig verhalten.

1. Ionisierungsenergie der Donatoren

Für die Bindungsenergie eines Wasserstoffatoms gilt

    \[ E_n = \frac{\mu e^4}{32 \pi^2 \hslash^2 \epsilon_0^2} \frac{1}{n^2} \]

mit der reduzierten Masse \mu=\frac{m_e m_p}{m_e+m_k}. Im Grundzustand ist n=1. Verwendung der effektiven Elektronenmasse m_e^*=0,015 m_e führt auf die Ersetzung \mu \leadsto \mu^* \simeq m_e^* (da m_e^* \ll m_e und somit m_e^* \ll m_p \Rightarrow \mu^* \simeq m_e^*)  und die Dielektrizitätszahl auf die Ersetzung \epsilon_0 \leadsto \epsilon \epsilon_0. Damit folgt

    \[ \tilde{E}_1 = \frac{m_e^* e^4}{32 \pi^2 \hslash^2 \epsilon_0^2 \epsilon^2} = \frac{m_e^*}{\mu}\frac{1}{\epsilon^2} E_1 \]

Mit der Ionisationsenergie von Wasserstoff E_1 = 13.6\phe{eV}, m_e^* = 0.015m_e und \epsilon = 18 erhält man für die Ionisationsenergie der Donatoren:

    \[ \boldsymbol{\tilde{E}_1 \simeq 0.63\phe{meV}}. \]

2. Bahnradius für den Grundzustand

Der Bohrradius a_0 für das Wasserstoffatom ist bekannt und läßt  sich über die Beziehung

    \[ a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0 \hslash^2}{m_e e^2} \]

bestimmen (\Rightarrow a_0 = 0.529\phe{\AA}). Mit den Ersetzungen aus Abschnitt 1 folgt dann für den Bahnradius der Donatoren im Grundzustand

    \[ \tilde{a}_0 = \frac{4\pi\epsilon_0\epsilon\hslash^2}{m_e^* e^2} = a_0 \frac{\epsilon m_e}{m_e^*} \simeq \boldsymbol{634.8\phe{\AA}} \]

3. Donatorkonzentration mit deutlichen Überlappungseffekten

Deutliche Überlappungseffekte zwischen den Orbitalen benachbarter Dotieratome, die zur Bildung eines Störstellenbandes führen können, treten bei einem Abstand der doppelten Gitterkonstante a auf, wenn eine kubischen Anordnung der Donatoratome angenommen wird. Als Gitterkonstante kann der in Abschnitt 2. bestimmte Bohrradius \tilde{a}_0 verwendet werden. Damit muss für die Dichte der Donatoratome gelten:

    \[ n \geq \frac{1}{\left(2\tilde{a}_0\right)^3} \simeq \boldsymbol{4.89 \cdot 10^{20} \phe{m^{-3}} = 4.89 \cdot 10^{14}\phe{cm^{-3}}} \]