Bindungsenergie für ein Elektron-Loch-Paar in einem Halbleiter

In Halbleitern können sich gebundene Elektron-Loch-Paare, die sogenannten Exzitonen, bilden. Für die Beschreibung der Bindungsenergie kann dieses Paar als wasserstoffähnlich angesehen werden, so dass hierfür die Beziehung für die Bindungsenergie in einem Wasserstoffatom herangezogen werden kann und entsprechend modifiziert werden muss.

Die Bindungsenergie eines Wasserstoffatoms ist gegeben durch

    \[ E = \frac{\mu e^4}{32\pi^2 \hslash^2 \epsilon_0^2} \simeq 13.6\phe{eV} \]

wobei \mu = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p} die reduzierte Masse bezeichnet (mit der freien Elektronenmasse m_e und der Protonenmasse m_p). Für die wasserstoffähnlichen Exzitonen müssen dann die effektiven Massen von Elektron m_e^* und Loch m_h^* verwendet werden, d. h. \mu \leadsto  \tilde{\mu} = \frac{m_e^* m_h^*}{m_e^* + m_h^*}. Zusätzlich muss die Dielektrizitätszahl \epsilon des Halbleiters berücksichtigt werden, da die Coulomb-Wechselwirkung nicht mehr im Vakuum stattfindet. Dies führt auf die Ersetzung \epsilon_0 \leadsto \tilde{\epsilon} = \epsilon_0 \epsilon. Insgesamt erhält man somit für die Bindungsenergie der Exzitonen:

    \[ \tilde{E} = \frac{\tilde{\mu} e^4}{32\pi^2\hslash^2\tilde{\epsilon}^2} = \frac{\tilde{\mu}}{\mu}\frac{1}{\epsilon^2}E \]