Bernoulli-Gleichung für nicht-kompressible Flüssigkeiten

Aus der Kraftgleichung für Fluidelemente soll nachfolgend die Bernoulli-Gleichung für nicht-kompressible Flüssigkeiten im stationären Zustand entwickelt werden.

Die Kraftgleichung für ein Fluidelement ist im stoßfreien Fall gegeben durch

    \[ mn\left[\PDif{\Vec{u}}{t} + \left(\Vec{u} \cdot \Nabla\right)\Vec{u}\right] = qn\left(\Vec{E} + \Vec{u} \times \Vec{B}\right) - \Nabla p \]

mit der Masse m eines Fluidelements, der Teilchendichte n und der Geschwindigkeit \Vec{u} der Fluidelemente, dem Druck p und den elektrischen \Vec{E} und magnetischem \Vec{B} Feldern, q bezeichnet die Ladung.

Im stationären Zustand bleibt die Geschwindigkeit konstant, d. h. es gilt \PDif{\Vec{u}}{t} = 0. Da eine nicht-kompressible Flüssigkeit betrachtet werden soll, bedeutet dies, das die Flüssigkeit feldfrei ist, also \Vec{E} = 0 und \Vec{B} = 0. Damit folgt für die Kraftgleichung:

    \begin{align*} 		&& mn\left[\PDif{\Vec{u}}{t} + \left(\Vec{u} \cdot \Nabla\right)\Vec{u}\right] 		& = qn\left(\Vec{E} + \Vec{u} \times \Vec{B}\right) - \Nabla p \\ 	\Rightarrow\quad & 		& mn\left(\Vec{u} \cdot \Nabla\right) \Vec{u} & = -\Nabla p \end{align*}

Betrachte die i-te Komponente:

    \begin{align*} 	&& mn\left(u_i \cdot \PDif{}{x_i}\right) u_i & = -\PDif{p}{x_i} \\ 	& \Leftrightarrow\quad & 	mnu_i\PDif{u_i}{x_i} & = -\PDif{p}{x_i} \\ 	& \Leftrightarrow\quad & 	mnu_i\pdif{u_i} & = -\pdif{p} \\ 	\intertext{Integration liefert} 	&&	\int mn u_i \pdif{u_i} & = - \int \pdif{p}\\ 	& \Leftrightarrow\quad & 	\frac{1}{2}mnu_i^2 & = -p + C \end{align*}

mit der Integrationskonstanten C. Anwenden auf alle Komponenten liefert

    \begin{displaymath} 	\frac{1}{2} mn\sum_{i=1}^{3} u_i^2 = -p + C \end{displaymath}

und somit die Bernoulli-Gleichung

    \begin{displaymath}    \frac{1}{2} mnu^2 + p = C = \text{const} \end{displaymath}

Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung der Vektoridentität:

    \[ \Vec{A} \times (\Nabla \times \Vec{B}) = \Nabla(\Vec{A} \cdot \Vec{B}) - (\Vec{A} \cdot \Nabla)\Vec{B} - (\Vec{B} \cdot \Nabla)\Vec{A} - \Vec{B} \times (\Nabla \times \Vec{A}) \]

Mit \Vec{A},\Vec{B} \equiv \Vec{u} folgt:

    \[ 2 (\Vec{u} \cdot \Nabla)\Vec{u} = \Nabla(\Vec{u} \cdot \Vec{u}) = \Nabla u^2 \]

Einsetzen in mn\left(\Vec{u} \cdot \Nabla\right) \Vec{u} = -\Nabla p liefert:

    \begin{align*} 	\frac{1}{2} mn \Nabla u^2 = -\Nabla p 		& \quad\Rightarrow\quad 		  \Nabla\left(\frac{1}{2} m n u^2 + p\right) = 0 \\ 		& \quad\Rightarrow\quad 		  \frac{1}{2} m n u^2 + p = \text{const} \end{align*}

Bernoulli-Gleichung für nicht-kompressible Flüssigkeiten
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