Beispiel zur Fata Morgana

In der folgenden Betrachtung soll das folgende Beispiel zur Fata Morgana berechnet werden. Der Brechungsindex in Luft möge senkrecht nach oben um 0,01 % pro Meter kontinuierlich abnehmen. In welcher Höhe wird ein Lichtstrahl total reflektiert (Winkel mit der Horizontalen = 0), wenn er ursprünglich einen Winkel von 45° mit der Horizontalen bildet? Die Erdkrümmung soll dabei nicht berücksichtigt werden.

Die Änderung des Brechungsindex n um \beta = 0,01\phe{\%/m}, wenn man sich um ein Strecke \Delta z nach oben bewegt, beträgt:

    \[ n(\Delta z) = n_0 \left(1 - \beta \Delta z\right) \]

Daraus folgt mit dem Brechungsgesetz n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2:

    \[ \frac{\sin(\alpha_1)}{\sin(\alpha_1 + \Delta \alpha)} = \frac{n(\Delta z)}{n_0} = \left(1 - \beta \Delta z\right) \Rightarrow \sin(\alpha_1 + \Delta\alpha') = \frac{\sin(\alpha_1)}{1 - \beta \Delta z} \]

Bewegt man sich nun um ein weiteres \Delta z nach oben, so erhält man

    \[ \sin(\alpha_1 + \Delta\alpha' + \Delta\alpha'') = \frac{\sin(\alpha_1 + \Delta\alpha')}{1 - \beta \Delta z} = \frac{\sin(\alpha_1)}{\left(1 - \beta \Delta z\right)^2} \]

Bei rekursiver Anwendung bis \sin(\alpha_1 + \Delta\alpha' + \Delta\alpha'' + \dots) = \sin(\alpha_2) erhält man:

    \[ \sin\alpha_2 = \frac{\sin\alpha_1}{\left(1 - \beta \Delta z\right)^{h/\Delta z}} \]

Mit \sin\alpha_2 = \sin(\pi/2) = 1 und \sin\alpha_1 = \sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2} folgt:

    \[ \sqrt{2}\left(1 - \beta \Delta z\right)^{h/\Delta z} = 1 \Rightarrow h = -\frac{1}{2}\frac{\ln(2)\Delta z}{\ln(1 - \beta \Delta z)} \]

Verkleinert man \Delta z, bildet also den Grenzprozeß \Delta z \to 0, so erhält man:

    \[ h = \lim_{\Delta z \to 0} -\frac{1}{2}\frac{\ln(2)\Delta z}{\ln(1 - \beta \Delta z)} \approx \mathbf{3465,7\phe{m}} \]

Dabei kann man den Grenzwert z. B. über Interpolation erhalten:

    \begin{align*} \Delta z_1 & = -0,1\phe{m} & \Rightarrow h(\Delta z_1) & \approx 3465,75\phe{m} \\ \Delta z_2 & =  0,1\phe{m} & \Rightarrow h(\Delta z_2) & \approx 3465,72\phe{m} \\ &&\Rightarrow h(\Delta z=0) & = \frac{3465,75\phe{m} + 3465,72\phe{m}}{2} \approx 3465,7\phe{m} \end{align*}

(Bildquelle: WikiMedia Commons)