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Sep 22

Fabry-Pérot-Etalon

Das Fabry-Pérot-Interferometer (FPI) wurde 1897 von den französischen Physikern Charles Fabry und Alfred Pérot entwickelt. Dies besteht entweder aus einer planparallel geschliffenen Platte aus transmissionsfähigem Material, auf dessen Außenflächen ein reflektierende Schicht aufgebracht wurde, oder aus zwei einseitig verspiegelten Platten, deren reflektierende Flächen parallel zueinander angeordnet sind. Entscheiden für das FPI ist die sehr hohe Parallelität der Platten. FPIs mit festem Spiegelabstand werden auch als Fabry-Pérot-Etalon (FPE) bezeichnet.

Strahlengang im Fabry-Pérot-Etalon Strahlengang planparallele Platte
Abb. 1: Strahlengang im Fabry-Pérot-Etalon Abb. 2: Strahlengang planparallele Platte

Das in das FPE (siehe Abb. 1) einfallende Licht wird, aufgrund der hohen Reflektivität der Beschichtung, zwischen den Reflexionsschichten häufig reflektiert. Ein Teil der Strahlung wird jedoch an den Grenzschichten transmittiert – diese transmittierten Anteile sind kohärent und können miteinander interferieren. Für die Interferenzbedingung gilt (mit der Interferenzordnung k und dem zugehörigen Einfallswinkel \alpha_k):

(1)   \begin{equation*} k \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2(\alpha_k)} \end{equation*}

Dies kann wie folgt hergeleitet werden (siehe Abb. 2): Sei \delta der Weglängenunterschied (Gangunterschied) von zwei Teilstrahlen, die im FPE aufgespalten werden. Beide durchlaufen den Weg \overline{AB}, so daß dieser nicht zum Gangunterschied beiträgt. Der Gangunterschied zwischen dem bei B transmittierten Teilstrahl und dem an B reflektierten und an D transmittierten Teilstrahl ergibt sich dann zu:

(2)   \begin{equation*} \delta = n(\overline{BC} + \overline{CD}) - \overline{BE} = \frac{2nd}{\cos\beta} - 2d\tan\beta\sin\alpha \end{equation*}

Mit \sin\alpha = n\sin\beta (n_{Luft} \approx 1) führt dies auf:

(3)   \begin{equation*} \delta = \frac{2nd}{\cos\beta} - \frac{2nd\sin^2\beta}{\cos\beta} = 2nd\cos\beta = 2d\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha} \end{equation*}

Die Phasendifferenz zwischen beiden Teilstrahlen läßt sich bestimmen über

(4)   \begin{equation*} \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta \end{equation*}

(hier taucht kein Phasensprung von \pi auf, da dieser nur bei der Reflektion beim Übergang vom optisch dünnerem zu einem dichteren Medium erfolgt). Beide Teilwellen interferieren konstruktiv bei einer Phasendifferenz von

(5)   \begin{equation*} \Delta\varphi = k \cdot 2\pi \qquad (k \in \mathbb{N}_0) \end{equation*}

und destruktiv bei einer Phasendifferenz von \Delta\varphi = (2k + 1) \pi. Gl. (3) und (5) in (4) einsetzen liefert die Interferenzbedingung [Gl. (1)].

Ist \lambda_{\pi} die Wellenlänge der \pi-Komponente und \lambda_{\sigma} die der \sigma_{\pm}-Komponente, so kann mit \Delta\lambda := \lambda_{\sigma} - \lambda_{\pi}, \lambda := \lambda_{\pi} und der Interferenzbedingung [Gl. (1)] auf die folgende Beziehung geschlossen werden:

(6)   \begin{equation*} \frac{\Delta\lambda}{\lambda} = \frac{k(\lambda_{\sigma} - \lambda_{\pi})}{\lambda_{\pi}} = \frac{2d\sqrt{n^2 - \sin^2(\alpha_{k,\sigma})} - 2d\sqrt{n^2 - \sin^2(\alpha_{k,\pi})}}{2d\sqrt{n^2 - \sin^2(\alpha_{k,\pi})}} = \frac{\sqrt{n^2 - \sin^2(\alpha_{k,\sigma})}}{\sqrt{n^2 - \sin^2(\alpha_{k,\pi})}} - 1 \end{equation*}

und mit dem Brechungsgesetz \sin\alpha = n\sin\beta

(7)   \begin{equation*} \frac{\Delta\lambda}{\lambda} = \frac{n\sqrt{1-\sin^2\beta_{k,\sigma}}}{n\sqrt{1-\sin^2\beta_{k,\pi}}} - 1 = \frac{\cos\beta_{k,\sigma}}{\cos\beta_{k,\pi}} -1 \end{equation*}

Beim letzten Schritt wurde dabei die trigonometrische Beziehung 1 = \sin^2(\epsilon) + \cos^2(\epsilon) ausgenutzt.