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Sep 21

Erzwungene gedämpfte Schwingung

Als Schwingung (Oszillation) bezeichnet man den zeitlichen Verlauf einer Zustandsänderung, wenn ein System aufgrund einer Störung aus dem Gleichgewicht gebracht wird und über eine rücktreibende Kraft wieder in Richtung des Ausgangszustandes gezwungen wird. Dabei wird eine Energieumwandlung zwischen zwei Energieformen durchgeführt. Bei einer ungedämpften harmonischen Schwingung wird angenommen, dass keine Energieverluste stattfinden und stellt einen idealisierten Fall dar. Werden Energieverluste z. B. durch Reibung berücksichtigt, bezeichnet man dieses System als gedämpfte Schwingung. Wird das schwingende System durch ein äußeres System angetrieben, d. h. eine periodische Kraft von außen auf das schwingende System ausgeübt, wird dies als erzwungene gedämpfte Schwingung bezeichnet. Im Folgenden sollen diese drei Systeme etwas näher betrachtet werden.

Ungedämpfte harmonische Schwingung

Für den idealisierten Fall punktförmiger Massen kann diese für eine Feder durch die Differentialgleichung (DGL)

    \[ -Dx = m\ddot{x} \]

mit der Rückstellkonstanten der Feder D, der Masse m und der Auslengung x beschrieben werden. Eine Lösung dieser DGL ist die Gleichung

    \[ x(t) = x_0 \cos\left(\omega_o t + \phi\right) \]

mit \omega_0^2 = D/m, der Amplitude x_0 und der Phasenverschiebung \phi.

Gedämpfte Schwingung

Wird die Dämpfung (Energieverlust durch Reibung, etc.), die entgegen der Bewegungsrichtung wirkt, mit einbezogen, lässt sich die Schwingung durch die DGL

    \[ -Dx - b\dot{x} = m\ddot{x} \]

mit einem Dämpfungsfaktor b beschreiben. Mit \omega_0^2 = D/m und 2\gamma = b/m folgt die allgemeine Bewegungsgleichung

    \[ \ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \]

mit der Dämpfungskonstanten \gamma. Diese DGL lässt sich mit einem Exponentialansatz lösen und man erhält:

    \[ x(t) = x_0 \exp\left\{-\gamma t\right\} \cos\left(\omega t + \phi\right) \]

mit \omega^2 = \omega_0^2 - \gamma^2. Erkennbar ist, dass drei Fälle auftreten können:

  1. \omega imaginär (\gamma < \omega_0): schwache Dämpfung, die Amplitude klingt exponentiell ab;
  2. \omega reell (\gamma > \omega_0): starke Dämpfung, die Schwingung besteht nur aus einer einzigen Auslenkung, die für t \to \infty langsam gegen Null strebt (Kriechfall)
  3. \omega = 0 (\gamma = \omega_0): aperiodischer Grenzfall, ebenfalls nur eine Auslenkung, wobei jedoch der Nullpunkt am schnellsten wieder erreicht wird.

Anzumerken ist noch, dass die Kreisfrequenz \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} der gedämpften Schwingung bei gleicher Rückstellkraft kleiner als die der ungedämpften Schwingung ist – mit steigener Dämpfung wächst auch die Frequenzverschiebung. Die zwei direkt aufeinanderfolgenden Maxima der gedämpften Schwingung haben das Amplitudenverhältnis

    \[ \frac{x(t+T)}{x(t)} = \exp\left\{-\gamma T\right\} \]

mit T = 2\pi / \omega. Als logarithmisches Dekrement \delta wird

    \[ \delta = \gamma T = \ln\left[\frac{x(t)}{x(t+T)}\right] \]

bezeichnet.

Erzwungene gedämpfte Schwingung

Wird auf ein schwingungsfähiges System eine periodisch wirkende Kraft F_a = F_0 \cos\left(\omega_a t\right) ausgeübt, so erhält man für die Bewegungsgleichung

    \[ m\ddot{x} = -Dx - b\dot{x} + F_0 \cos\left(\omega_a t\right) \]

Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL hat dann die Form

    \[ x(t) = A_1 \exp\left\{-\gamma t\right\} \cos\left(\omega t + \phi\right) + A_2 \cos\left(\omega_a t + \phi_a\right) \]

wobei \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} die Kreisfrequenz der freien gedämpften Schwingung ist. Der erste Term beschreibt die Einschwingzeit (für t \lesssim \gamma^{-1}) und kann für genügend lange Zeiten vernachlässigt werden. Der zweite Term beschreibt den stationären Schwingungszustand (t \gg \gamma^{-1}). Im stationären Zustand erhält man für die Amplitude

    \[ A_2(\omega_a) = \frac{F_0 / m}{\sqrt{\left(\omega_0^2 - \omega_a^2\right)^2 + \left(2\gamma\omega_a\right)^2}} \]

und für die Phasenverschiebung

    \[ \tan\phi_a = -\frac{2\gamma\omega_a^2}{\omega_0^2 - \omega_a^2} \]

Die Phasenverscheibung einer erzwungenen Schwingung mit \gamma > 0 wächst für \omega_a \leq \omega_0 von 0 bis -\pi/2 und für \omega_a \geq \omega_0 von -\pi/2 bis -\pi, d. h., die erzwungene Schwingung läuft der Erregerschwingung hinterher.

Für das Maximum der Amplitude erhält man

    \[ \omega_R = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2} \]

und entspricht nicht genau der Resonanzfrequenz \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} des frei gedämpften Oszillators. Die Halbwertsbreite der Resonanzkurve, d. h. die Differenz der beiden Frequenzen \omega_{1,2}, an denen die Amplitude auf den halben Wert der maximalen Amplitude abgesunken ist, lässt sich aus den obigen Gleichungen ausdrücken über

    \[ \Delta\omega_a = \sqrt{\omega_R^2 + 2\gamma\sqrt{3\omega_r^3 + 3\gamma^2}} - \sqrt{\omega_R^2 - 2\gamma\sqrt{3\omega_R^2 + 3\gamma^2}} \]

und kann für \gamma \ll \omega_R angenähert werden zu

    \[ \Delta\omega_a \simeq \frac{2\gamma}{\omega_R}\qrt{3\omega_R^2 + 3\gamma^2} \simeq 3\gamma\sqrt{3} \]

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