Zeitliche Ausdehnung und Unschärferelation eines Wellenpaketes

Für die Erzeugung eines räumlich lokalisierten Wellenpaketes können unendlich viele Wellen der Form exp{-i(ωt – kx)} in einem Wellenzahl-Intervall zwischen k0 – Δk/2 und k0+Δk/2 überlagert werden. Um ein zeitlich konzentriertes Wellenpaket zu erhalten, kann diese Überlagerung auch für Wellen in einem Frequenz-Intervall zwischen ω0Δω/2 und ω0 + Δω/2 durchgeführt werden und das Wellenpaket in der Form

    \[ \psi(x,t) = C(\omega_0)\int_{\omega_0 - \Delta\omega/2}^{\omega_0 + \Delta\omega/2} \exp\left\{-i(\omega t - kx)\right\}\dif{\omega} \]

dargestellt werden.

In der folgenden Betrachtung soll das Integral unter Verwendung einer Taylor-Entwicklung für k(ω) in der Umgebung von ω0 gelöst werden. Weiterhin wird gezeigt, dass die zeitliche Ausdehung des Wellenpaketes gegeben ist durch Δt = 4π/Δω und dass daraus die Unschärefelation ΔE·Δt=2h folgt.

Taylorentwicklung für k(\omega) um \omega_0 liefert:

    \[ 	k(\omega) 		= k_0 + \left(\Dif{k}{\omega}\right)_{\omega_0}(\omega - \omega_0)   + \dots \]

Substituiert man nun f = \omega - \omega_0 \Rightarrow \dif{\omega} = \dif{f} und führt die Abkürzung u = t - x\left(\Dif{k}{\omega}\right)_{\omega_0} ein, so folgt für die oben angegebene Wellenfunktion:

    \begin{align*} 	\psi(x,t) 		& = C(\omega_0) \exp\left[i(\omega t - xk_0)\right] 		 \int_{-\Delta\omega/2}^{\Delta\omega/2} \exp(iuf)\dif{f} \\ 		& = C(\omega_0) \exp\left[i(\omega t - xk_0)\right]    \left.\frac{1}{iu}\exp(iuf)\right|_{f=-\Delta\omega/2}^{\Delta\omega/2} \\ 		& = C(\omega_0) \exp\left[i(\omega t - xk_0)\right] 		 \frac{1}{iu}\left[\exp\left(iu\frac{\Delta\omega}{2}\right)-\exp\left(-iu\frac{\Delta\omega}{2}\right)\right] \end{align*}

Mit der Beziehung (für z \in \mathbb{C})

    \[ 	\sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \]

erhält man

    \begin{align*} 	\psi(x,t) 		& = \underbrace{C(\omega_0) 			\frac{2\sin\left(u\frac{\Delta\omega}{2}\right)}{u}}_{\text{Amplitude}} 			\cdot \underbrace{\exp\left[i(\omega_0 t - xk_0)\right]}_{\text{Oszillator}} \end{align*}

Die Amplitude wird für t_m - \left(\Dif{k}{\omega}\right)_{\omega_0} \cdot x_m = 0 maximal und damit x_m = t_m \left(\Dif{k}{\omega}\right)_{\omega_0}^{-1}. Die Nullstellen von \sin\left(\left[t_{1,2} - \left(\Dif{k}{\omega}\right)_{\omega_0} x_m\right] \frac{\Delta\omega}{2}\right] liegen bei \left(t_{1,2} - \left(\Dif{k}{\omega}\right)_{\omega_0} x_m\right) \frac{\Delta\omega}{2} = \pi.

Einsetzen von x_m und Verwendung von \frac{\Delta t}{2} = t_{1,2} - t_m liefert für die zeitliche Ausdehnung des Wellenpaketes:

    \[ 	\left(t_{1,2} - t_m\right) \frac{\Delta\omega}{2} = \pi 	\Rightarrow 	\frac{\Delta t}{2} = \frac{2\pi}{\Delta\omega} 	\Rightarrow 	\Delta t = \frac{4\pi}{\Delta\omega} \]

Für die Energie gilt \Delta E = hf = \hslash \Delta\omega und es folgt die Unschärferelation:

    \[ 	\Delta E \cdot \Delta t 		= \hslash \Delta\omega \cdot \frac{4\pi}{\Delta\omega} 		= 4\pi\hslash = 2h \]