Normierte vollständige Eigenfunktionen eines Elektrons im Coulombpotential

Nachfolgend eine Aufstellung der normierten vollständigen Eigenfunktionen eines Elektrons im Coulombpotential V(r) = -Ze^2/(4\pi\epsilon_0 r).

n l m \boldsymbol{\psi_{nlm}(r,\vartheta,\varphi)}
1 0 0 \frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}
2 0 0 \frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2} \left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)\exp\left\{-\frac{Zr}{2a_0}\right\}
2 1 0 \frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\frac{Zr}{a_0}\exp\left{-\frac{Zr}{2a_0}\right\}\cos\vartheta
2 1 ±1 \frac{1}{8\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\frac{Zr}{a_0}\exp\left\{-\frac{Zr}{2a_0}\right\}\sin\vartheta\exp\left\{\pm i\varphi\right\}
3 0 0 \frac{1}{81\sqrt{3\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(27-18\frac{Zr}{a_0}+2\frac{Z^2 r^2}{a_0^2}\right)\exp\left\{-\frac{Zr}{3a_0}\right\}
3 1 0 \frac{\sqrt{2}}{81\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(6-\frac{Zr}{a_0}\right)\frac{Zr}{a_0}\exp\left\{-\frac{Zr}{3a_0}\right\}\cos\vartheta
3 1 ±1 \frac{1}{81\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(6-\frac{Zr}{a_0}\right)\frac{Zr}{a_0}\exp\left\{-\frac{Zr}{3a_0}\right\}\sin\vartheta \exp\left\{\pm 2 i\varphi\right\}
3 2 0 \frac{1}{81\sqrt{6\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\frac{Z^2 r^2}{a_0^2} \exp\left\{-\frac{Zr}{3a_0}\right\}\left(3\cos^2\vartheta - 1\right)
3 2 ±1 \frac{1}{81\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\frac{Z^2 r^2}{a_0^2} \exp\left\{-\frac{Zr}{3a_0}\right\}\sin\vartheta\cos\vartheta\exp\left\{\pm 2 i\varphi\right\}
3 2 ±2 \frac{1}{162\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\frac{Z^2 r^2}{a_0^2} \exp\left\{-\frac{Zr}{3a_0}\right\} \sin^2\vartheta\exp\left\{\pm 2 i\varphi\right\}

siehe auch