Ladungsdichteverteilung in vollbesetzten Elektronenschalen

Im Modell unabhängiger Teilchen erfolgt die Beschreibung jedes Elektrons durch eine Bahn-Wellenfunktion \psi_{n,l,m}. Die zugehörige räumliche Ladungsdichteverteilung ist durch \varrho(r,\vartheta,\varphi) = e\left|\psi_{n,l,m}\right|^2 gegeben. In dieser kurzen Betrachtung soll am Beispiel der L-Schale (n = 2) gezeigt werden, dass bei voller Besetzung der Elektronenschale, d. h. eine Besetzung mit 2n2 Elektronen, die gesamte zeitlich gemittelte Ladungsdichteverteilung kugelsymmetrisch ist.

Die Bahn-Wellenfunktionen \psi_{n,l,m} für die L-Schale sind in der nachfolgenden Tabelle wiedergegeben:

n l m \boldsymbol{\psi_{n,l,m}(r,\vartheta,\varphi)}
2 0 0 \frac{1}{4\sqrt{2\pi}} \left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2} \left(2 - \frac{Z r}{a_0}\right) \exp\left\{-\frac{Z r}{2a_0}\right\}
2 1 0 \frac{1}{4\sqrt{2\pi}} \left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2} \frac{Z r}{a_0} \exp\left\{-\frac{Z r}{2a_0}\right\} \cos\vartheta
2 1 ±1 \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2} \frac{Zr}{a_0} \exp\left\{-\frac{Zr}{2a_0}\right\} \sin\vartheta \exp\left\{\pm i\varphi\right\}

Zu zeigen ist, das die gesamte zeitlich gemittelte Ladungsdichteverteilung \varrho kugelsymmetrisch ist, d. h. \varrho darf dann keine winkelabhängigen Anteile enthalten und nur noch vom radialen Abstand abhängen (\varrho = \varrho(r)). Da über alle zugelassenen Werte von l und m summiert werden muß, ist die räumliche Ladungsdichteverteilung gegeben über:

    \begin{displaymath} \varrho(r,\vartheta,\varphi) = e\left[\labs{\psi_{2,0,0}}^2 + \labs{\psi_{2,1,0}}^2 + \labs{\psi_{2,1,-1}}^2 + \labs{\psi_{2,1,+1}}^2\right] \end{displaymath}

Zunächst werden die einzelnen Betragsquadrate bestimmt:

    \begin{align*} \labs{\psi_{2,0,0}}^2 & = \frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3} \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\} \\ \labs{\psi_{2,1,0}}^2 & = \frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3} \frac{Z^2 r^2}{a_0^2} \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}\cos^2\vartheta \\ \labs{\psi_{2,1,-1}}^2 & = \frac{1}{64\pi}\frac{Z^3}{a_0^3} \frac{Z^2 r^2}{a_0^2} \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}\sin^2\vartheta \;\underbrace{\exp\left\{-i\varphi\right\} \exp\left\{+i\varphi\right\}}_{=1} \\ \labs{\psi_{2,1,+1}}^2 & = \frac{1}{64\pi}\frac{Z^3}{a_0^3} \frac{Z^2 r^2}{a_0^2} \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}\sin^2\vartheta \;\underbrace{\exp\left\{+i\varphi\right\} \exp\left\{-i\varphi\right\}}_{=1} \\ \end{align*}

\labs{\psi_{2,1,-1}}^2 und \labs{\psi_{2,1,+1}}^2 sind identisch und es folgt für die Ladungsdichteverteilung:

    \begin{align*} \varrho(r,\vartheta,\varphi) & = e\left[\labs{\psi_{2,0,0}}^2 + \labs{\psi_{2,1,0}}^2 + 2\labs{\psi_{2,1,\pm1}}^2\right] \\ & = e\Big[\frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3} \left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)^2 \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\} + \frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3}\frac{Z^2 r^2}{a_0^2} \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\} \underbrace{\left(\cos^2\vartheta + \sin^2\vartheta\right)}_{=1} \Big] \\ & = e\frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3}\exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\} \left[\left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)^2 \frac{Z^2 r^2}{a_0^2}\right] \\ & = e\frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3}\exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\} \left[2\left(2-2\frac{Zr}{a_0}+\frac{Z^2 r^2}{a_0^2}\right)\right] \\ & = e\frac{1}{16\pi}\frac{Z^3}{a_0^3}\exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\} \left[2-2\frac{Zr}{a_0}+\frac{Z^2 r^2}{a_0^2}\right] \end{align*}

Die so erhaltene Ladungsdichteverteilung enthält nur noch den radialen Anteil, die winkelabhängigen Anteile sind herausgefallen.