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Sep 21

Beispiel zum Stefan-Boltzmann-Strahlungsgesetz: Temperatur der Erde

Die Sonne sei ein perfekter schwarzer Strahler mit dem Radius rS = 6,95 · 108 m, der Oberflächentemperatur von TS = 5800 K und dem mittleren Abstand Sonne-Erde von dS-E = 1,496·1011 m. Berechnet werden sollen im folgenden

  • die mittlere Leistungsdichte (in W/m2) der Sonnenstrahlung im Abstand dS-E von der Sonne sowie
  • die Temperatur der Erde unter der Annahme, die Erde wäre ein perfekter schwarzer Körper und würde nur durch die Sonne geheizt.

Mittlere Leistungsdichte der Sonnenstrahlung

Da die Sonne als perfekter schwarzer Strahler angenommen werden soll, ist der Emissionskoeffizient \epsilon \equiv 1. Mit dem Strahlungsgesetz von Stefan und Boltzmann P = \sigma \epsilon A_S T^4, der strahlenden Sonnenfläche A_S = 4 \pi r_S^2 und dem Raumwinkel \Omega = 4\pi = \frac{A}{d_{S-E}^2} folgt für die mittlere Leistungsdichte:

    \[ \left<\varrho\right>_P = \frac{P}{A} = \frac{\sigma \epsilon A_S T^4}{A} = \frac{\sigma 4 \pi r_S^2 T^4}{4\pi d_{S-E}^2} = \frac{\sigma r_S^2 T^4}{d_{S-E}^2} \simeq \boldsymbol{1385\phe{\frac{W}{m^2}}} \]

mit \sigma = 5,670 \cdot 10^{-8}\phe{\frac{W}{m^2 K^4}}.

Temperatur der Erde

Wäre die Erde ein perfekter schwarzer Körper und würde nur von der Sonne geheizt, so würde die im vorherigen Abschnitt bestimmte Leistung zur Aufheizung der Erde beitragen. Die Fläche der Erde, projeziert auf die Ebene, beträgt A_E = \pi r_E^2; die Kugeloberfläche der Erde A_{E_K} = 4\pi r_E^2. Die Sonnenstrahlung trifft auf die Erde, so daß für die Leistung gilt: P = \left<\varrho\right>_P A_E. Gleichsetzen mit dem Stefan-Boltzmann-Strahlungsgesetz führt zu (\epsilon \equiv 1)

    \[ P = \left<\varrho\right>_P A_E = \sigma \epsilon A_{E_K} T^4 \Longrightarrow T = \sqrt[4]{ \frac{\left<\varrho\right>_P \pi r_E^2}{4\pi r_E^2 \sigma} } = \sqrt[4]{\frac{\left<\varrho\right>_P}{4 \sigma}} \simeq 280 \phe{K} \simeq \boldsymbol{7 \phe{^o C}} \]